Траектория движения точки на шине колеса автомобиля относительно земли


§ 3. Траектория движения

Для описания движения тела нужно указать, как меняется положение его точек с течением времени. При движении тела каждая его точка описывает некоторую линию — траекторию движения. Проводя мелом по доске, мы оставляем на ней след — траекторию движения кончика мела. Рукопись — это траектория кончика пера. Светящийся след метеорного тела на ночном небе (рис. 1), туманные следы альфа-частиц (рис. 2) — это траектории метеорного тела и альфа-частиц. В ожидании солнечного затмения астрономы заранее вычисляют траекторию движения лунной тени по поверхности Земли. На рис. 4 показана такая траектория для ближайшего полного затмения, которое будет видно в Москве.

Рис. 4. Траектория центра лунной тени во время затмения, которое произойдет 16 октября 2126 г.

Так как движение относительно, то траектория может зависеть от выбора системы отсчета. Например, в безветренную погоду струи дождя представляются вертикальными, если за ними следить из окна стоящего вагона: капли оставляют на оконных стеклах вертикальные следы. Но если поезд тронулся, то по отношению к идущему вагону струи дождя представятся косыми: дождевые капли будут оставлять на стеклах наклонные следы, причем наклон будет тем больше, чем больше скорость поезда. На рис. 5 изображена траектория, которую описывает относительно земной поверхности точка  на ободе колеса, катящегося по прямой дороге. Относительно телеги траекторией точки  будет, конечно, сама окружность обода.

Рис. 5. Точка  на ободе катящегося колеса описывает относительно земной поверхности траекторию, изображенную на рисунке (циклоиду)

Возможно вам будет интересно:

Траектория движения тела в физике

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Траектория представляет собой своеобразный «след», который оставляет за собой движущееся тело в данной системе отсчета. Она позволяет наблюдателю этой системы отсчета увидеть все точки, которые последовательно проходило тело во время движения. Например, железнодорожный путь указывает траекторию движения поезда, автомобильное шоссе – траекторию движения автомашин. След, оставшийся в небе за летящим самолетом, «рисует» траекторию самолета, лыжня – траекторию лыжника, а любой текст, написанный на листе бумаги – траекторию кончика карандаша или ручки.

Траектория тела в разных системах отсчета

Следует отметить, что траектории движения одного и того же тела в разных системах отсчета могут быть различными. Например, в системе отсчета, связанной с Землей, траектория движения искусственного спутника вокруг Земли – окружность, а в системе отсчета, связанной с Солнцем, — винтовая линия или спираль (рис.1).

В зависимости от формы траектории механические движения делятся на прямолинейные (траектория – прямая линия) (рис.2, а) и криволинейные (траектория – кривая линия) (рис.2, б).

Определение уравнения траектории движения тела является одной из задач механики.

Примеры решения задач по теме «Траектория»

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

§15. Описание движения твердого тела. Кинематика

§15. Описание движения твердого тела

 Кинематическое описание движения твердого тела представляет собой гораздо более сложную математическую задачу, чем описание движения материальной точки, уже хотя бы потому, что твердое тело обладает шестью степенями свободы, а материальная точка только тремя. Представьте себе полет кувыркающегося в воздухе бруска, и вы сразу же оцените сложность описания его движения. Основной подход к математическому описанию движения твердого тела заключается в разложении его движения на составляющие: движение какой-либо точки тела относительно неподвижной системы координат и вращение тела относительно этой точки.  Если задавать закон движения одной точки мы уже научились, то описывать вращение вокруг изменяющейся в пространстве оси весьма сложно. Только для того, чтобы продемонстрировать проблемы, которые возникают при этом, покажем, что результат двух поворотов вокруг различных осей зависит от порядка, в котором они проводятся. На рис. 85 показаны результаты двух поворотов, проведенных в разном порядке − как видите, результат не один и тот же!

рис. 85  Плоскопараллельное движение  Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если траектории движения всех его точек являются плоскими кривыми, лежащими в параллельных плоскостях.  Плоскопараллельное движение твердого тела можно представить как суперпозицию поступательного движения и вращения вокруг оси, направление которой не изменяется. Наглядными примерами такого движения являются качение колеса, движение книги без отрыва от стола и т. д.

 Для описания положения абсолютно твердого тела при плоскопараллельном движении необходимо задать две декартовые координаты какой-либо точки тела1 и угол его поворота, то есть плоскопараллельное движение обладает тремя степенями свободы (рис. 86).

рис. 86  Выберем внутри тела две точки − А и В; зададим координаты хА, уА точки А и угол φ, который образует отрезок АВ с направлением оси X. Три числа − хА, уА и φ однозначно определяют положение тела на плоскости, следовательно, являются его координатами. Зная эти координаты, можно определить положение в пространстве любой другой точки твердого тела путем геометрических построений.  Покажем теперь, как можно найти скорость любой точки твердого тела при плоскопараллельном движении (рис. 87).

рис. 87  Разложим движение на две составляющие − поступательное движение, скорость которого обозначим V, и вращение вокруг оси, проходящей через точку А с угловой скоростью ω = Δφ/Δt. Тогда скорость любой другой точки тела (например, В) является векторной суммой скоростей поступательного и вращательного движении: причем вектор скорости вращательного движения направлен перпендикулярно отрезку AB и равен по абсолютной величине: V = ωr, где r расстояние от точки В до оси вращения.

 Рассмотрим катящееся без проскальзывания колесо радиуса R (рис. 88). рис. 88  Пусть его центр движется со скоростью V. Найдем скорости некоторых других точек колеса. Для этого представим движение колеса как сумму поступательного движения его центра и вращения вокруг его оси. Так как движение происходит без проскальзывания, то угловая скорость вращения определяется формулой ω = V/R. Для точек, находящихся на ободе колеса, линейная скорость вращательного движения равна по модулю скорости поступательного движения, так как для них расстояние до оси вращения равно радиусу колеса. Поэтому Vвр = ωr = VR/R = V.  Однако направление этой скорость вращательного движения направлена горизонтально, также как и скорость поступательного движения. Поэтому суммарная скорость точки А равна 2V и направлена горизонтально. Скорость вращательного движения точки В направлена вертикально вверх, поэтому ее полная скорость направлена под углом 45° к горизонту, а ее модуль VB = V√{2} Очень интересна точка касания с поверхностью С: скорость ее вращательного движения направлена горизонтально в сторону, противоположную скорости поступательного движения, поэтому ее полная скорость равна нулю.  Так как разложение движения на составляющие не является однозначным, можно теперь представить качение колеса как сумму движения точки С и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку. Мы показали, что скорость точки С равна нулю, поэтому появляется возможность рассматривать движение колеса как чистый поворот вокруг точки С. Правда, это возможно в течение только бесконечно малого промежутка времени, потому что в следующий момент точкой касания будет другая точка колеса. Множество точек твердого тела, скорости которых в данный момент равны нулю, образуют мгновенную ось вращения тела. Такая ось существует при любом движении твердого тела. Правда, положение этой оси постоянно изменяется, поэтому для вычисления координат точек такое представление движения не дает особых преимуществ. Но для вычисления скоростей точек рассматривать плоскопараллельное движение как чистый поворот очень удобно.  Легко доказать, что угол поворота тела не зависит от того, относительно какой оси мы его рассматриваем, следовательно, и угловая скорость не зависит от оси. С этой точки зрения скорость любой точки колеса определяется формулой V = ωr/, где r/ − расстояние от данной точки до мгновенной оси вращения.  Рассмотренная задача об определении скоростей точек катящегося колеса может быть легко решена, если рассматривать его движение как поворот вокруг точки С (рис. 89): рис. 89 точка A находится на расстоянии 2R от мгновенной оси вращения, поэтому ее скорость равна: VA = 2Rω = 2V; точка B находится на расстоянии R√{2} от оси, ее скорость − V√{2}. Направления векторов скоростей также совпадают с полученными ранее.  Таким образом, мы имеем два примерно одинаковых по сложности способа описания движения твердого тела: первый − суперпозиция поступательного и вращательного движений; второй − поворот вокруг мгновенной оси.

 Дополнение. Если бы скорость света была поменьше!  Все взаимодействия, все сигналы распространяются с конечной скоростью, поэтому любая информация, воспринимаемая нашими органами чувств и приборами, «запаздывает»: то, что мы видим «сейчас», на самом деле произошло «раньше». Нам повезло − скорость света настолько велика, что упомянутое «запаздывание» практически не оказывает никакого влияния на наше поведение. Тем не менее в некоторых случаях его необходимо учитывать. Этой проблеме и посвящена нижеприведенная задача.

 Условие задачи «Запаздывание»

 1С точки зрения кинематического описания, выбор этой точки произволен. Только следует стремиться к тому, чтобы траектория этой точки была проще. Далее мы укажем, как можно легко найти такую точку.

2.2. Вычисление скоростей точек тела, совершающего плоскопараллельное движение

В любой момент времени скорости любых двух точек плоской фигуры исвязаны равенством

Рис. 2.3

(a)

Вектор представляет собой скорость, полученную точкойпри вращении плоской фигуры вокруг оси, проходящей через полюсперпендикулярно плоской фигуре. Этот вектор направлен перпендикулярно отрезку(по касательной к окружности, которую описывает точкапри вращении тела вокруг оси), причем в сторону вращения тела (Рис. 2.3). В соответствии с формулой Эйлера

Пример 2.4

Пластина совершает плоскопараллельное движение. В данный момент времени угловая скорость пластины равна , проекция на осьскорости точкипластины равна. Скорость точкиобразует с осьюугол(Рис. 2.4). Определить модули скоростей точеки, если.

Рис. 2.4

Запишем уравнение (a) в проекциях на координатные оси:

или

Учитывая данные задачи, получаем:

или

Отсюда:

Следует заметить, что прямое использование формулы (a) целесообразно в довольно небольшом числе случаев. В некоторых задачах имеет смысл использовать так называемую теорему о проекциях. Поскольку векторперпендикулярен отрезку, из формулы (a) получаем утверждение:

проекции скоростей концов отрезка, соединяющего две точки абсолютно твердого тела, на направление этого отрезка равны.

Пример 2.5

Стержень движется в плоскости рисунка, причём его конецвсё время находится на полуокружности, а сам стержень всё время касается неподвижного выступа, расположенного на диаметре(Рис. 2.5). Определить скоростьточки стержня, касающейся выступа, в тот момент времени, когда радиусперпендикулярен, если известно, что скорость точкив этот момент.

Рис. 2.5

Заметим, что направления скоростей точекив данный момент времени известны. Скорость точкинаправлена по касательной к траектории, т.е. по касательной к окружности в нижней точке. Скорость точкинаправлена вдоль стержня, т.к. по условию задачи стержень не отрывается от выступа. Таким образом, для заданного положения стержня известны углы, которые образуют векторы скоростей точекис отрезком. В таком случае целесообразно использовать теорему о проекциях скоростей:

Решение задач с помощью мгновенного центра скоростей. Основной способ определения поля скоростей при плоскопараллельном движении твёрдого тела основан на использовании мгновенного центра скоростей.

Как уже говорилось, за полюс можно принять любую точку плоской фигуры. В данный момент времени различные точки тела имеют разные скорости. За полюс имеет смысл принимать точку, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Точка, принадлежащая плоской фигуре или неизменно с ней связанная, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей.

Рис. 2.6

Скорость любой точкиплоской фигуры определяется так же, как если бы тело вращалось вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения плоской фигуры (Рис. 2.6):

Пример 2.6

Кривошипн0-шатунный механизм связан шарнирно в середине шатуна со стержнем, а последний – со стержнем, который может вращаться вокруг оси. Определить угловую скорость стержняв указанном на Рис. 2.7 положении механизма, если точкиирасположены на одной вертикали; угловая скоростькривошипаравна 8 рад/с,

Рис. 2.7

Стерженьвращается вокруг неподвижной оси. Скорость точкиопределяем по формуле Эйлера:

Движение стержня плоскопараллельное. Мгновенный центр скоростей находится в точке. Учитывая, что скорости точек тела пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей, получаем:

Отсюда:

Движение стержня плоскопараллельное. Скорость точкинаправлена по касательной к окружности радиуса, которая является траекторией точки. При заданном положении механизма направление скорости точкисовпадает с направлением стержня. Для определения скорости точкиимеет смысл использовать теорему о проекциях скоростей:

Остаётся определить угловую скорость стержня . Поскольку движение этого стержня вращательное, используем формулу Эйлера:

Пример 2.7

Колесо радиуса катится без скольжения по неподвижной поверхности (Рис. 2.8). Скорость центра колеса. Определить скорости точеки

Рис. 2.8

Мгновенный центр скоростейнаходится в точке касания колеса и дороги. Зная скорость центра, находим угловую скорость колеса:

Скорости точек колеса определяем по формуле Эйлера:

Качение колеса представляет интерес еще и в том отношении, что позволяет проиллюстрировать смысл формулы (a). Пусть колесо, движение которого мы рассматриваем, – ведущее колесо, т.е. оно принудительно вращается некоторым приводом. Рассмотрим возможные режимы движения.

Может случиться так, что колесо вращается, но автомобиль не перемещается – буксует. В этом случае движение колеса представляет собой вращение вокруг неподвижной оси . Все точки колеса будут описывать окружности с центром в точке, радиусы которых равны расстояниям от этих точек до оси колеса. Скорость любой точки направлена по касательной к этой окружности и определяется по формуле Эйлера.

Другое возможное движение колеса представляет собой качение с проскальзыванием. Автомобиль при этом перемещается, но колеса вращаются несоразмерно быстро. Скорость оси колеса отлична от нуля и вступает в свои права формула (a). Скорость, например, точки, которая в первом случае была ее полной скоростью, становится скоростью, полученной точкойпри вращении колеса вокруг оси. Полная же скорость точкитеперь геометрически складывается из скорости точкии скорости, полученной точкойпри вращении колеса вокруг оси

Заметим, что в этом случае движение оси (т.е. автомобиля) и вращение колеса происходят независимо друг от друга и каждое из них должно быть задано.

Последний режим движения колеса – качение без скольжения. Именно этот случай рассмотрен в примере 2.7. Движение оси и вращение колеса оказываются взаимосвязанными. В каждое мгновение очевидно положение точки, скорость которой равна нулю. В такой ситуации при определении скоростей точек колеса удобнее за полюс брать не точку , а мгновенный центр скоростей.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 16.3; 16.10; 16.15; 16.16; 16.19; 16.24; 16.28; 16.29; 16.31; 16.32; 16.33; 16.34; 16.35; 16.36; 16.38; 16.39.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-20.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

Пример 2.8

Определить скорость и ускорение ползуна кривошипного механизма, а также угловую скорость и угловое ускорение шатунав положении, изображенном на Рис. 2.9. Кривошипвращается замедленно, имея в данный момент времени угловую скоростьи угловое ускорение. Ползун движется по криволинейной направляющей, имеющей в данном положении механизма радиус кривизны. Дано:.

Зная направления скоростей точек и, построим мгновенный центр скоростейстержня, после чего определим угловую скорость стержня

и скорость точки

Попытка определить угловое ускорение стержня , используя определение

закончится неудачей, поскольку зависимость неизвестна.

Для определения ускорения точки принимаем за полюс точку. Поскольку известны траектории всех точек во всех их движениях, представим ускорения точек их составляющими:

Вычислим векторы, входящие в уравнение .

Рис. 2.9

Точка принадлежит вращающемуся телу. Определяем модули составляющих ускорения этой точки:

направления векторов показаны на Рис. 2.9.

Точка движется по криволинейной направляющей. Касательное и нормальное ускорения точкиопределяются по формулам:

направления составляющих ускорения показаны на Рис. 2.9. По приведенной формуле не удается вычислить касательное ускорение точки , поскольку неизвестны зависимости расстоянийиот времени.

Находим составляющие ускорения, полученного точкой при вращении шатунавокруг оси. Заметим, что вращательное ускорение остается неизвестным по модулю, поскольку неизвестно угловое ускорение шатуна:

Таким образом, из шести векторов, входящих в равенство , только два неизвестны по модулю. Определим эти неизвестные из уравнения. Это уравнение можно решить аналитически или геометрически. Рассмотрим оба способа решения.

Имеет смысл выбрать координатные оси так, чтобы в каждое уравнение в проекциях входила только одна неизвестная. Направим ось вдоль(перпендикулярно), а осьпо направлению(перпендикулярно). Записывая уравнениев проекциях на ось, получаем:

Отсюда

Отрицательный знак говорит о том, что предполагаемое направление вектора было выбрано ошибочно; в действительности этот вектор направлен в противоположную сторону.

Записывая уравнение в проекциях на ось, получаем:

Отсюда

Рис. 2.10

Вычислив, можем определить угловое ускорение стержня:

Рассмотрим геометрический способ решения уравнения . Построим в масштабе сумму векторов, стоящих в правой части уравнения. От некоторой точкиотложим, от его конца отложим, а затем(Рис. 2.10). Остается построить, модуль которого неизвестен. Проведем через конецпунктирную прямую, параллельную. Конец суммы векторов, стоящих в правой части уравнения, лежит на этой прямой.

Обратимся к левой части уравнения . Отложим от точкиизвестный вектор. Через его конец проведем пунктирную прямую, параллельную вектору. Точка пересечения построенных прямых определяет положение конца вектора ускорения точки.

Пример 2.9

Колесо радиуса катится без скольжения по прямолинейному пути (Рис. 2.11). Ось колеса движется ускоренно, имея в данный момент времени скоростьи ускорение. Определить проекции ускорение любой точкиобода колеса на оси координат.

Принимая за полюс точку , получаем:

причем

где – угловая скорость колеса;– его угловое ускорение.

Рис. 2.11

Зная положение мгновенного центра скоростей колеса – точка касания колеса и дороги, определяем угловую скорость колеса:

В рассматриваемой задаче расстояние от точки , скорость которой известна, до мгновенного центра скоростейсо временем не изменяется. Это обстоятельство позволяет найти угловое ускорение колеса в данный момент времени по определению углового ускорения:

,

так как представляет собой проекцию вектора ускорения точкина направление её вектора скорости, которая в рассматриваемом случае равна.

Записывая уравнение в проекциях на координатные оси, получаем проекции вектора ускорения точки:

Пример 2.10

Колесо радиуса катится без скольжения по криволинейной поверхности (Рис.2.12). Ось колеса движется ускоренно, имея в данный момент времени скоростьи касательное ускорение. Определить проекции ускорения любой точкиобода колеса на заданные координатные оси, если радиус кривизны в точкеравен.

Рис. 2.12

Задача решается так же, как в примере 2.9, но в отличие от предыдущей задачи, траектория точки– кривая линия. У точкипоявляется вторая составляющая ускорения – нормальная:

В результате получаем:

Пример 2.11

Колесо радиуса катится без проскальзывания по прямолинейному пути. Ось колеса движется равномерно со скоростью(Рис. 2.13). Определить ускорение любой точкиколеса.

Рис. 2.13

Ось колеса движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, точка– мгновенный центр ускорений. Для любой точкиколеса получаем:

Но угловая скорость колеса постоянна и, следовательно, угловое ускорение колеса равно нулю.

Тогда

Таким образом, ускорение любой точки совпадает с осестремительным ускорением, полученным этой точкой при вращении колеса вокруг оси, проходящей через центр колеса перпендикулярно плоскости движения.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 18.11; 18.13; 18.16; 18.18; 18.22; 18.23; 18.25; 18.26; 18.28; 18.37; 18.38; 18.39; 18.40.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-21;

СР-22.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 7-8


Смотрите также


Интересующую Вас информацию Вы можете уточнить у наших специалистов, заполнив форму, приведенную ниже. Мы с радостью Вас проконсультируем!
Почта:
Ваше Имя:
Сообщение:
30+5